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PRO-GUMBEL: Einbindung der Maximum-Likelihood-Methode als alternative SchätzmethodeDie Optimierung des extremwertstatistischen Auswerteverfahrens GUMBEL erfolgt mit dem Programm PRO-GUMBEL. Die jetzt vorliegende Programmversion 2.0 umfasst neben dem Momentenverfahren nunmehr auch die Maximum-Likelihood-Methode als alternative Schätzmethode. Bei der Auslegung bzw. sicherheitstechnischen Überprüfung von Kernkraftwerken und anderen kerntechnischen Anlagen gegen Erdbeben, Hochwasser und Extremwinde sieht man sich u. a. mit der Aufgabe konfrontiert, seltene Ereignisse dieser Einwirkungen zu definieren. Zu diesem Zweck werden Beobachtungen von für das jeweilige Phänomen charakteristischen Größen extremwertstatistisch ausgewertet. Ergebnis ist die Eintrittsrate der Größen in einer Form, die eine Extrapolation zu sehr seltenen Einwirkungen ermöglicht. In der Seismizitätsanalyse kommt zu diesem Zweck seit mehr als 25 Jahren das GUMBEL-Verfahren zum Einsatz. Das Verfahren ist in den letzten Jahren auf die Auswertung von Tidehochwasserständen, dann auf Abflusshochwasser und schließlich auf Windgeschwindigkeiten bei Sturm übertragen worden. Insbesondere in den Untersuchungen zu den methodischen Grundlagen haben sich zahlreiche neue Erkenntnisse zum GUMBEL-Verfahren ergeben, die auch bei anderen extremen Naturereignissen erfolgreich angewendet werden könnten. Die Umsetzung der neu gewonnenen Erkenntnisse erfolgt in dem von der VGB-Arbeitsgruppe "Erdbebenauslegung" geführten und von den Betreibern der deutschen Kernkraftwerke geförderten Forschungsvorhaben "Optimierung des extremwertstatistischen Auswerteverfahrens GUMBEL" mit dem neuen Programm PRO-GUMBEL . Die Programmversion 2.0 umfasst neben dem Momentenverfahren und der in der Projektphase II vorgenommenen Optimierungen nunmehr auch die Maximum-Likelihood-Methode als alternative Schätzmethode (Projektphase III). Im Zusammenwirken mit der optimierten Momentenmethode wird damit eine verbesserte Parameterschätzung realisiert. Zudem wird dem Anwender die Möglichkeit gegeben, eine statistisch fundierte Schätzung der Gumbelverteilung unter Vorgabe eines oberen Grenzwertes für die betrachtete Zufallsgröße vorzunehmen. Programm-Einführung Das Programm PRO-GUMBEL ist ein Extremwertstatistik-Programm, mit dessen Hilfe seltene Ereignisse einer betrachteten Untersuchungsgröße prognostiziert werden können. Es beruht auf dem ursprünglich für die Erdbebenanwendung konzipierten und in den Untersuchungen zu optimierten GUMBEL-Verfahren. Im Rahmen des Programms werden die in einem begrenzten Zeitraum erfassten Beobachtungen der Untersuchungsgröße extremwertstatistisch ausgewertet mit dem Ziel, Rückschlüsse auf die Gesamtheit der Werte mit geringen Auftretenswahrscheinlichkeiten zu erlangen. Eingangsgrößen für das Programm sind dabei die T-Extremwerte der Größe. Sie bestimmen sich aus der (im jeweiligen Untersuchungsgebiet) vorhandenen Datenbasis als Maximalwerte in gleichlangen, aneinander anschließenden Zeitintervallen T (für T=1 Jahr sind dies z.B. Jahresextremwerte). Unter Zugrundelegung eines theoretischen Modellansatzes werden aus dieser Datengrundlage der Verlauf der Eintrittsraten bzw. der Nicht-Überschreitenswahrscheinlichkeiten geschätzt, der schließlich die Extrapolation auf sehr seltene Ereignisse ermöglicht. Dem Verfahren liegt dabei als probabilistischer Modellansatz ein 3-parametriger Ansatz zugrunde. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die verallgemeinerte GumbelVerteilung mit den Parametern Mittelwert m, Standardabweichung δ und Krümmungsparameter t . Die Gumbelverteilungsfunktion wird über die Gleichung
beschrieben, die sich für den Sonderfall eines Krümmungsparameters t = 0 zu
vereinfacht. Unter der zusätzlichen Annahme, dass die Werte der betrachteten Untersuchungsgröße X stochastisch gemäß einem Poisson-Prozess auftreten, stehen die Eintrittsrate λ(> X) und die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung GT( ≤X) der Extremwerte in Perioden T in folgendem Zusammenhang:
Die Parameter der Gumbelverteilung werden aus der vorliegenden Stichprobe der T-Extremwerte geschätzt. In PRO-GUMBEL sind für eine entsprechende Parameterschätzung zwei gleichberechtigte Schätzverfahren implementiert: neben der Momentenmethode steht alternativ die Maximum-Likelihood-Methode zur Verfügung. Das Programm sieht im Hinblick auf eine bestmögliche Zuverlässigkeit der Prognoseergebnisse ferner vor, zur Parameterschätzung möglichst viele unabhängige Datenreihen einzubeziehen. Zu diesem Zweck können die Extremwerte zu unterschiedlichen Bezugszeiten T und (insbesondere bei Erdbeben in jedem Gebiet) zu verschiedenen Auswertezeiträume in die extremwertstatistische Analyse eingebunden werden. Jeder Datensatz liefert jeweils eine Einzelschätzung der Gumbelparameter, die dann über eine gewichtete Mittelung zu einem Gesamtergebnis zusammengefasst werden. Mit Kenntnis der geschätzten Gumbelparameter ist die Gumbelverteilungsfunktion vollständig definiert. Der funktionale Zusammenhang ermöglicht es nun, über den Beobachtungszeitraum der ausgewerteten Datenbasis hinaus auf seltene Ereignisse mit geringen Eintrittsraten zu extrapolieren. Standardmäßig werden in PRO-GUMBEL hierzu die Schätzwerte der betrachteten Untersuchungsgrößen mit Eintrittsraten von 2 * 10 -2 /a, 10 -3 /a und 10 -5 /a sowie die absoluten Höchst- und Kleinstwerte ausgewiesen. Die Eingabedaten sowie die aus der extremwertstatistischen Analyse resultierenden Ergebnisse werden in PRO-GUMBEL sowohl in graphischer als auch tabellarischer Form zur Verfügung gestellt. Im Einzelnen sind folgende Daten dokumentiert: in tabellarischer Form:
in graphischer Form:
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Für weitere Informationen wenden Sie sich bitte an:VGB PowerTech e.V.
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